图|Graph

本文最后更新于:February 1, 2022 12:12 AM

这是在看b站上的韩顺平老师的数据结构与算法[1]时做的笔记。等我把后面的都更新完了以后会陆续把前面的补上。


一、基本介绍

为什么要有图

  1. 前面我们学了线性表和树
  2. 线性表局限于一个前驱和一个后继的关系
  3. 树也只能有一个直接前驱也就是父结点
  4. 当我们需要表示多对多的关系时,这里我们就用到了图
    图是一种数据结构,其中结点可以具有零个或者多个相邻元素。两个结点直接的链接称为边。结点也可以称为顶点。如图:

二、常用概念

1) 顶点|vertex

2) 边|edge

3) 路径|path

4)无向图|Undirected Graph(下图)

无向图:顶点之间的链接没有方向,比如A-B,既可以是A→B,也可以是B←A。

路径:比如D→C的路径有

  1. D→B→C
  2. D→A→B→C

5) 有向图|Directed Graph(下图)

有向图:顶点之间的链接有方向,比如A-B,只能是A→B,不能是B←A。

6)带权图|Weighted Graph(下图)

带权图:这种边带权值的图也叫网

三、表示方式

图的表示方式有两种:二维数组表示(邻接矩阵);链表表示(邻接表)。

1. 邻接矩阵

邻接矩阵是表示图形中顶点之间相邻关系的矩阵,对于n个顶点的图而言,矩阵的row和col表示的是1…n个点。

2. 邻接表

1)邻接矩阵需要为每个顶点都分配n个边的空间,其实有很多边都是不存在,会造成空间的一定损失。

2)邻接表的实现只关心存在的边,不关心不存在的边。因此没有空间浪费,邻接表由数组+链表组成。

说明:

  1. 标号为0的结点的相关联的结点为 1 2 3 4
  2. 标号为1的结点的相关联结点为0 4,
  3. 标号为2的结点相关联的结点为 0 4 5
  4. ….

四、快速入门案例

1. 要求

代码实现如下图结构。

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  A B C D E
A 0 1 1 0 0
B 1 0 1 1 1
C 1 1 0 0 0
D 0 1 0 0 0
E 0 1 0 0 0

//说明
//(1)1表示能直接链接
//(2)0表示不能直接链接

2. 思路分析

  1. 存储顶点 String 使用 ArrayList
  2. 保存 int[][] edges

3.代码实现

代码

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import java.util.ArrayList;
import java.util.Arrays;

public class Graph {

private ArrayList<String> vertexList;
private int[][] edges;
private int numOfEdges;

public static void main(String[] args) {
int n = 5;// number of nodes
String vertices[] = { "A", "B", "C", "D", "E" };
Graph graph = new Graph(n);
// add nodes
for (String vertex : vertices) {
graph.insertVertex(vertex);
}
// add edges
// A-B A-C B-C B-D B-E
graph.insertEdge(0, 1, 1);
graph.insertEdge(0, 2, 1);
graph.insertEdge(1, 2, 1);
graph.insertEdge(1, 3, 1);
graph.insertEdge(1, 4, 1);

graph.showGraph();
}

// constructor
public Graph(int n) {
edges = new int[n][n];
vertexList = new ArrayList<String>(n);
numOfEdges = 0;
}

public void showGraph() {
for (int[] link : edges) {
System.out.println(Arrays.toString(link));
}
}

public int getNumOfVertex() {
return vertexList.size();
}

public int getNumOfEdges() {
return numOfEdges;
}

// 返回下标对应的数据 0->“A”
public String getValueByIndex(int i) {
return vertexList.get(i);
}

public int getWeight(int v1, int v2) {
return edges[v1][v2];
}

public void insertVertex(String vertex) {
vertexList.add(vertex);
}

/**
*
* @param v1 点的下标,以及是第几个顶点 “A”-“B” “A”->0 “B”->1
* @param v2 第二个顶点对应的下标
* @param weight 权值
*/
public void insertEdge(int v1, int v2, int weight) {
edges[v1][v2] = weight;
edges[v2][v1] = weight;
}

}

运行结果

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[0, 1, 1, 0, 0]
[1, 0, 1, 1, 1]
[1, 1, 0, 0, 0]
[0, 1, 0, 0, 0]
[0, 1, 0, 0, 0]

五、图的遍历

所谓图的遍历,既是对结点的访问。一个图有那么多结点,如何遍历这些结点,需要特定策略,一般有两种访问策略:

  • 深度优先遍历|Depth First Search
  • 广度优先遍历|Broad First Search

深度优先遍历|DFS

1. 基本思想


图的深度优先搜索

  1. 深度优先遍历,从初始访问结点出发,初始访问结点可能有多个邻接结点,深度优先遍历的策略就是首先访问第一个邻接结点,然后再以这个被访问的邻接结点作为初始结点,访问它的第一个邻接结点, 可以这样理解:每次都在访问完当前结点后首先访问当前结点的第一个邻接结点
  2. 我们可以看到,这样的访问策略是优先往纵向挖掘深入,而不是对一个结点的所有邻接结点进行横向访问。
  3. 显然,深度优先搜索是一个递归的过程

2. 算法步骤

  1. 访问初始结点v,并标记结点v为已访问。
  2. 查找结点v的第一个邻接结点w。
  3. 若w存在,则继续执行4,如果w不存在,则回到第1步,将从v的下一个结点继续。
  4. 若w未被访问,对w进行深度优先遍历递归(即把w当做另一个v,然后进行步骤123)。
  5. 查找结点v的w邻接结点的下一个邻接结点,转到步骤3。

3.代码实现

添加代码

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private boolean[] isVisited;
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/**
*
* @param index
* @return 如果存在就返回对应的下标,否则返回-1
*/
public int getFirstNeighbor(int index) {
for (int j = 0; j < vertexList.size(); j++) {
if (edges[index][j] > 0) {
return j;
}
}
return -1;
}
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// 根据前一个邻接结点的下标来获取下一个邻接结点
public int getNextNeighbor(int v1, int v2) {
for (int j = v2 + 1; j < vertexList.size(); j++) {
if (edges[v2][j] > 0) {
return j;
}
}
return -1;
}
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// DFS
private void dfs(boolean[] isVisited, int i) {
System.out.print(getValueByIndex(i) + "->");
isVisited[i] = true;
int w = getFirstNeighbor(i);
while (w != -1) {
if (!isVisited[w]) {
dfs(isVisited, w);
}
w = getNextNeighbor(i, w);
}
}
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// 对dfs进行重载,因为要考虑不联通图的情况
public void dfs() {
for (int i = 0; i < getNumOfVertex(); i++) {
if (!isVisited[i]) {
dfs(isVisited, i);
}
}
}
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System.out.println("DFS:");
graph.dfs();// A->B->C->D->E

运行结果

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[1, 0, 1, 1, 1]
[1, 1, 0, 0, 0]
[0, 1, 0, 0, 0]
[0, 1, 0, 0, 0]
DFS:
A->B->C->D->E->

广度优先遍历|BFS

1. 基本思想


图的广度优先搜索

类似于一个分层搜索的过程,广度优先遍历需要使用一个队列保持访问过的结点的顺序,以便按照这个顺序来访问这些结点的邻接结点。

2. 算法步骤

  1. 访问初始结点v并标记结点v为已访问。
  2. 结点v入队列
  3. 当队列非空时,继续执行,否则算法结束。
  4. 出队列,取得队头结点u。
  5. 查找结点u的第一个邻接结点w。
  6. 若结点u的邻接结点w不存在,则转到步骤3;否则循环执行以下三个步骤:
    1. 若结点w尚未被访问,则访问结点w并标记为已访问。
    2. 结点w入队列
    3. 查找结点u的继w邻接结点后的下一个邻接结点w,转到步骤6。

3. 代码实现

添加代码

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private void bfs(boolean[] isVisited, int i) {
int u;// head node's index
int w;
LinkedList queue = new LinkedList();
System.out.print(getValueByIndex(i) + "->");
isVisited[i] = true;
queue.addLast(i);
while (!queue.isEmpty()) {
u = (Integer) queue.removeFirst();
w = getFirstNeighbor(u);
while (w != -1) {
if (!isVisited[w]) {
System.out.print(getValueByIndex(w) + "->");
isVisited[w] = true;
queue.addLast(w);
}
w = getNextNeighbor(u, w);
}
}
}
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public void bfs() {
for (int i = 0; i < getNumOfVertex(); i++) {
if (!isVisited[i]) {
bfs(isVisited, i);
}
}
}

运行结果

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[0, 1, 1, 0, 0]
[1, 0, 1, 1, 1]
[1, 1, 0, 0, 0]
[0, 1, 0, 0, 0]
[0, 1, 0, 0, 0]
BFS:
A->B->C->D->E->

参考