图｜Graph

本文最后更新于：June 1, 2023 9:58 PM

这是在看b站上的韩顺平老师的数据结构与算法[1]时做的笔记。等我把后面的都更新完了以后会陆续把前面的补上。

一、基本介绍

为什么要有图

  1. 前面我们学了线性表和树
  2. 线性表局限于一个前驱和一个后继的关系
  3. 树也只能有一个直接前驱也就是父结点
  4. 当我们需要表示多对多的关系时，这里我们就用到了图
    图是一种数据结构，其中结点可以具有零个或者多个相邻元素。两个结点直接的链接称为边。结点也可以称为顶点。如图：

二、常用概念

1） 顶点｜vertex

2） 边｜edge

3） 路径｜path

4）无向图｜Undirected Graph（下图）

无向图：顶点之间的链接没有方向，比如A-B，既可以是A→B，也可以是B←A。

路径：比如D→C的路径有

  1. D→B→C
  2. D→A→B→C

5） 有向图｜Directed Graph（下图）

有向图：顶点之间的链接有方向，比如A-B，只能是A→B，不能是B←A。

6）带权图｜Weighted Graph（下图）

带权图：这种边带权值的图也叫网

三、表示方式

图的表示方式有两种：二维数组表示（邻接矩阵）；链表表示（邻接表）。

1. 邻接矩阵

邻接矩阵是表示图形中顶点之间相邻关系的矩阵，对于n个顶点的图而言，矩阵的row和col表示的是1…n个点。

2. 邻接表

1）邻接矩阵需要为每个顶点都分配n个边的空间，其实有很多边都是不存在,会造成空间的一定损失。

2）邻接表的实现只关心存在的边，不关心不存在的边。因此没有空间浪费，邻接表由数组+链表组成。

说明：

  1. 标号为0的结点的相关联的结点为 1 2 3 4
  2. 标号为1的结点的相关联结点为0 4，
  3. 标号为2的结点相关联的结点为 0 4 5
  4. ….

四、快速入门案例

1. 要求

代码实现如下图结构。

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  A B C D E
A 0 1 1 0 0
B 1 0 1 1 1
C 1 1 0 0 0
D 0 1 0 0 0
E 0 1 0 0 0

//说明
//（1）1表示能直接链接
//（2）0表示不能直接链接

2. 思路分析

  1. 存储顶点 String 使用 ArrayList
  2. 保存 int[][] edges

3.代码实现

代码

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import java.util.ArrayList;
import java.util.Arrays;

public class Graph {

	private ArrayList<String> vertexList;
	private int[][] edges;
	private int numOfEdges;

	public static void main(String[] args) {
		int n = 5;// number of nodes
		String vertices[] = { "A", "B", "C", "D", "E" };
		Graph graph = new Graph(n);
		// add nodes
		for (String vertex : vertices) {
			graph.insertVertex(vertex);
		}
		// add edges
		// A-B A-C B-C B-D B-E
		graph.insertEdge(0, 1, 1);
		graph.insertEdge(0, 2, 1);
		graph.insertEdge(1, 2, 1);
		graph.insertEdge(1, 3, 1);
		graph.insertEdge(1, 4, 1);

		graph.showGraph();
	}

	// constructor
	public Graph(int n) {
		edges = new int[n][n];
		vertexList = new ArrayList<String>(n);
		numOfEdges = 0;
	}

	public void showGraph() {
		for (int[] link : edges) {
			System.out.println(Arrays.toString(link));
		}
	}

	public int getNumOfVertex() {
		return vertexList.size();
	}

	public int getNumOfEdges() {
		return numOfEdges;
	}

	// 返回下标对应的数据 0->“A”
	public String getValueByIndex(int i) {
		return vertexList.get(i);
	}

	public int getWeight(int v1, int v2) {
		return edges[v1][v2];
	}

	public void insertVertex(String vertex) {
		vertexList.add(vertex);
	}

	/**
	 * 
	 * @param v1 点的下标，以及是第几个顶点 “A”-“B” “A”->0 “B”->1
	 * @param v2 第二个顶点对应的下标
	 * @param weight 权值
	 */
	public void insertEdge(int v1, int v2, int weight) {
		edges[v1][v2] = weight;
		edges[v2][v1] = weight;
	}

}

运行结果

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[0, 1, 1, 0, 0]
[1, 0, 1, 1, 1]
[1, 1, 0, 0, 0]
[0, 1, 0, 0, 0]
[0, 1, 0, 0, 0]

五、图的遍历

所谓图的遍历，既是对结点的访问。一个图有那么多结点，如何遍历这些结点，需要特定策略，一般有两种访问策略：

  • 深度优先遍历｜Depth First Search
  • 广度优先遍历｜Broad First Search

深度优先遍历｜DFS

1. 基本思想


图的深度优先搜索

  1. 深度优先遍历，从初始访问结点出发，初始访问结点可能有多个邻接结点，深度优先遍历的策略就是首先访问第一个邻接结点，然后再以这个被访问的邻接结点作为初始结点，访问它的第一个邻接结点， 可以这样理解：每次都在访问完当前结点后首先访问当前结点的第一个邻接结点。
  2. 我们可以看到，这样的访问策略是优先往纵向挖掘深入，而不是对一个结点的所有邻接结点进行横向访问。
  3. 显然，深度优先搜索是一个递归的过程

2. 算法步骤

  1. 访问初始结点v，并标记结点v为已访问。
  2. 查找结点v的第一个邻接结点w。
  3. 若w存在，则继续执行4，如果w不存在，则回到第1步，将从v的下一个结点继续。
  4. 若w未被访问，对w进行深度优先遍历递归（即把w当做另一个v，然后进行步骤123）。
  5. 查找结点v的w邻接结点的下一个邻接结点，转到步骤3。

3.代码实现

添加代码

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private boolean[] isVisited;
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/**
 * 
 * @param index
 * @return 如果存在就返回对应的下标，否则返回-1
 */
public int getFirstNeighbor(int index) {
	for (int j = 0; j < vertexList.size(); j++) {
		if (edges[index][j] > 0) {
			return j;
		}
	}
	return -1;
}
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// 根据前一个邻接结点的下标来获取下一个邻接结点
public int getNextNeighbor(int v1, int v2) {
	for (int j = v2 + 1; j < vertexList.size(); j++) {
		if (edges[v2][j] > 0) {
			return j;
		}
	}
	return -1;
}
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// DFS
private void dfs(boolean[] isVisited, int i) {
	System.out.print(getValueByIndex(i) + "->");
	isVisited[i] = true;
	int w = getFirstNeighbor(i);
	while (w != -1) {
		if (!isVisited[w]) {
			dfs(isVisited, w);
		}
		w = getNextNeighbor(i, w);
	}
}
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// 对dfs进行重载，因为要考虑不联通图的情况
public void dfs() {
	for (int i = 0; i < getNumOfVertex(); i++) {
		if (!isVisited[i]) {
			dfs(isVisited, i);
		}
	}
}
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System.out.println("DFS:");
graph.dfs();// A->B->C->D->E

运行结果

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[1, 0, 1, 1, 1]
[1, 1, 0, 0, 0]
[0, 1, 0, 0, 0]
[0, 1, 0, 0, 0]
DFS:
A->B->C->D->E->

广度优先遍历｜BFS

1. 基本思想


图的广度优先搜索

类似于一个分层搜索的过程，广度优先遍历需要使用一个队列保持访问过的结点的顺序，以便按照这个顺序来访问这些结点的邻接结点。

2. 算法步骤

  1. 访问初始结点v并标记结点v为已访问。
  2. 结点v入队列
  3. 当队列非空时，继续执行，否则算法结束。
  4. 出队列，取得队头结点u。
  5. 查找结点u的第一个邻接结点w。
  6. 若结点u的邻接结点w不存在，则转到步骤3；否则循环执行以下三个步骤：
    1. 若结点w尚未被访问，则访问结点w并标记为已访问。
    2. 结点w入队列
    3. 查找结点u的继w邻接结点后的下一个邻接结点w，转到步骤6。

3. 代码实现

添加代码

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private void bfs(boolean[] isVisited, int i) {
	int u;// head node's index
	int w;
	LinkedList queue = new LinkedList();
	System.out.print(getValueByIndex(i) + "->");
	isVisited[i] = true;
	queue.addLast(i);
	while (!queue.isEmpty()) {
		u = (Integer) queue.removeFirst();
		w = getFirstNeighbor(u);
		while (w != -1) {
			if (!isVisited[w]) {
				System.out.print(getValueByIndex(w) + "->");
				isVisited[w] = true;
				queue.addLast(w);
			}
			w = getNextNeighbor(u, w);
		}
	}
}
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public void bfs() {
	for (int i = 0; i < getNumOfVertex(); i++) {
		if (!isVisited[i]) {
			bfs(isVisited, i);
		}
	}
}

运行结果

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[0, 1, 1, 0, 0]
[1, 0, 1, 1, 1]
[1, 1, 0, 0, 0]
[0, 1, 0, 0, 0]
[0, 1, 0, 0, 0]
BFS:
A->B->C->D->E->

参考

  1. 尚硅谷Java数据结构与java算法，韩顺平数据结构与算法 ↩