多路查找树|Multi-Way Search Tree

本文最后更新于:February 1, 2022 12:11 AM

这是在看b站上的韩顺平老师的数据结构与算法[1]时做的笔记。等我把后面的都更新完了以后会陆续把前面的补上。


一、二叉树的问题分析

二叉树的操作效率较高,但是也存在在一些问题,请看下面的二叉树

  • 这是一颗 满二叉树,即它的高度有: $2^n-1 → 2^{5}-1→31$
  • 二叉树需要加载到内存,如果二叉树的结点少,没有问题,但是如果二叉树的结点很多(比如1亿),就存在如下问题:
  1. 在构建二叉树时,需要多次进行i/o操作(海量数据存在数据库或文件中),结点海量,构建二叉树时,速度有影响
  2. 结点海量,也会造成二叉树的高度很大,会降低操作速度

二、基本介绍

1. 多叉树

  1. 在二叉树中,每个结点有数据项,最多两个子结点。如果允许每个结点可以有更多的数据项和更多的子结点,就是多叉树(multiway tree)
  2. 后面的2-3树,2-3-4树就是多叉树,多叉树通过重新组织结点,减少书的高度,能对二叉树进行优化
  3. 举例说明(下面2-3树就是一颗多叉树):

2. B树

B树通过重新组织结点,降低树的高度,并且减少i/o读写次数来提升效率

  1. 如图B树通过重新组织结点,降低了树的高度
  2. 文件系统及数据库系统的设计者利用了磁盘预读原理,将一个结点的大小设为等于一个页(页的大小通常为4k),这样每个结点只需要一次i/o就可以完全载入
  3. 将树的度M设置为1024,在600亿个元素中最多只需要4次i/o操作就可以读取到想要的元素。B树(B+)利用这个特性,广泛地应用于文件存储系统以及数据库系统中
  • 结点的度 指的是一个结点下面子结点的个数
  • 树的度 指的是一个树里最大的结点的度的值

3. 2-3树

2-3树是最简单的B树结构,具有如下特点:

  1. 2-3树的所以叶子结点都在同一层。(只要是B树都满足这个条件)
  2. 有两个子结点的结点叫二结点,二结点要么没有子结点,要么有两个子结点,不能只有一个子结点。
  3. 有三个子结点的结点叫三结点,三结点要么没有子结点,要么有三个子结点,不能只有有一个或两个子结点。
  4. 2-3树是由二结点和三结点构成的树。

三、应用案例

将数列 {16, 24, 12, 32, 14, 26, 34, 10, 8, 28, 38, 20} 构建成 2-3 树,并保证数据插入的大小顺序。(演示一下构建 2-3
树的过程.)

插入规则:

  1. 2-3 树的所有叶子节点都在同一层.(只要是 B 树都满足这个条件)
  2. 有两个子节点的节点叫二节点,二节点要么没有子节点,要么有两个子节点.
  3. 有三个子节点的节点叫三节点,三节点要么没有子节点,要么有三个子节点
  4. 当按照规则插入一个数到某个节点时,不能满足上面三个要求,就需要拆,先向上拆,如果上层满,则拆本层,拆后仍然需要满足上面 3 个条件。
  5. 对于三节点的子树的值大小仍然遵守(BST 二叉排序树)的规则

这个网站画的,但是感觉这网站画出来的有亿丝丑。。。泪目

四、其他说明

除了2-3树,还有2-3-4树等,概念和2-3树类似,也是一种B树。如图:

五、B树、B+树 和 B*树

1. B树的介绍

B-树即B树,B即Balanced,平衡的意思。有人把B-tree翻译成B-树,容易让人产生误解。会以为B-树是一种树,而B树又是另一种树。实际上,B-tree就是指的B树。

前面已经介绍了2-3树和2-3-4树,他们就是B树|B-tree,这里我们再做一个说明,我们在学习Mysql时,经常听到说某种类似的索引时基于B树或者B+树的,如图:

B树的说明:

  1. B树的阶:节点的最多子节点个数。比如2-3树的阶是3,2-3-4树的阶是4
  2. B-树的搜索,从根结点开始,对结点内的关键字(有序)序列进行二分查找,如果命中则结束,否则进入查询关键字所属范围的子结点;重复,直到所对应的子指针为空,或已经是叶子结点
  3. 关键字集合分布在整颗树中, 即叶子节点和非叶子节点都存放数据.
  4. 搜索有可能在非叶子结点结束
  5. 其搜索性能等价于在关键字全集内做一次二分查找

2. B+树的介绍

B+树时B树的变体,也是一种多路搜索树。

B+树的说明:

  1. B+树的搜索与B树也基本相同,区别是B+树只有达到叶子结点才命中(B树可以在非叶子结点命中),其性能也等价于在关键字全集做一次二分查找
  2. 所有关键字都出现在叶子结点的链表中(即数据只能在叶子节点【也叫稠密索引】),且链表中的关键字(数据)恰好是有序的。
  3. 不可能在非叶子结点命中
  4. 非叶子结点相当于是叶子结点的索引(稀疏索引),叶子结点相当于是存储(关键字)数据的数据层
  5. 更适合文件索引系统
  6. B树和B+树各有自己的应用场景,不能说B+树完全比B树好,反之亦然.

3. B*树的介绍

B*树是B+树的变体,在B+树的非根和非叶子结点再增加指向兄弟的指针。

B*树的说明:

  1. B*树定义了非叶子结点关键字个数至少为(2/3)×M,即块的最低使用率为2/3,而B+树的块的最低使用率为B+树的1/2。
  2. 从第1个特点我们可以看出,B*树分配新结点的概率比B+树要低,空间使用率更高.

参考