平衡二叉树|AVL Tree

本文最后更新于:July 6, 2022 9:29 PM

这是在看b站上的韩顺平老师的数据结构与算法[1]时做的笔记。等我把后面的都更新完了以后会陆续把前面的补上。


一、实际案例

给你一个数列 {1, 2, 3, 4, 5, 6},要求创建一颗二叉排序树(BST),并分析问题所在。

问题分析:

  1. 左子树全部为空,从形式上看,更像一个单链表
  2. 插入速度没有影响
  3. 查询速度明显降低(因为需要依次比较),不能发挥BST的优势,因为每次还需要比较左子树,其查询速度比单链表还慢
  4. 解决方案-平衡二叉树(AVL)

二、基本介绍

平衡二叉树又称平衡二叉搜索树(Self-balancing binary search tree),是二叉排序树的一类,又被称为AVL树,可以保持查询效率比较高。

具有一下特点:它是一颗空树或它的左右两个子树的高度差的绝对值不超过1,并且左右两个子树都是一颗平衡二叉树。平衡二叉树的常用实现方法有红黑树、AVL(算法,不是指AVL树)、替罪羊树、Treap、伸展树等。


上面的三个树只有左边两个是AVL树。

三、应用案例

1. 单旋转—左旋转

1)要求

给你一个数列,创建出对应的平衡二叉树 {4, 3, 6, 5, 7, 8}

2)思路

问题:

当插入“8”时rightHeight()-leftHeight()>1成立,此时,不再是一颗AVL树了

处理过程-进行左旋转:

  1. 创建新的结点,以当前根结点的值

Node newNode = new Node(value);

  1. 把新的结点的左子树设置成当前结点的左子树

newNode.left = left;

  1. 把新的结点的右子树设置成带你过去结点的右子树的左子树

newNode.right = right.left;

  1. 把当前结点的值替换成右子结点的值

value = right.value;

  1. 把当前结点的右子树设置成当前结点右子树的右子树

right = right.right;

  1. 把当前结点的左子树(左子结点)设置成新的结点

left = newNode;

原来的那个“6”因为没有任何结点指向它,所以被系统当作垃圾回收掉了

2. 单旋转—右旋转

1)要求

给你一个数列,创建出对应的平衡二叉树 {10, 12, 8, 9, 7, 6}

2)思路

问题:

当插入“6”时`leftHeight()-rightHeight()>1成立,此时,不再是一颗avl树了

处理过程-进行右旋转

  1. 创建新的结点,以当前根结点的值

Node newNode = new Node(value);

  1. 把新的结点的右子树设置成当前节点的右子树

newNode.right = right;

  1. 把新的结点的左子树设置成带你过去结点的左子树的右子树

newNode.left = left.right;

  1. 把当前结点的值替换成左子结点的值

value = left.value;

  1. 把当前结点的左子树设置成当前结点左子树的左子树

left = left.left;

  1. 把当前结点的右子树(右子结点)设置成新的结点

right = newNode;

原来的那个“8”因为没有任何结点指向它,所以被系统当作垃圾回收掉了

3. 双旋转

1)要求

给你一个数列,创建出对应的平衡二叉树 {10, 11, 7, 6, 8, 9}

2)思路

问题:

当插入“9”时`leftHeight()-rightHeight()>1成立,此时,不再是一颗avl树了

运行结果:

树的高度=4
左子树的高度=1
右子树的高度=3
Root=Node [value=7]

问题分析:

  1. 当符合右旋转的条件时
  2. 如果它的左子树的右子树高度大于它的左子树的高度
  3. 需要先对当前这个结点的左结点进行左旋转
  4. 再对当前结点进行右旋转的操作即可

四、代码实现

代码

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public class AVLTreeDemo {

public static void main(String[] args) {
int[] arr = { 10, 11, 7, 6, 8, 9 };
AVLTree avlTree = new AVLTree();
for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
avlTree.add(new Node(arr[i]));
}
System.out.println("树的高度=" + avlTree.getRoot().height());//3
System.out.println("左子树的高度=" + avlTree.getRoot().leftHeight());//2
System.out.println("右子树的高度=" + avlTree.getRoot().rightHeight());//2
System.out.println("根结点=" + avlTree.getRoot());//8
System.out.println("根结点的左子结点=" + avlTree.getRoot().left);//7
}
}

class AVLTree {
private Node root;

public Node getRoot() {
return root;
}

public Node search(int value) {
if (root == null) {
return null;
} else {
return root.search(value);
}
}

public Node searchParent(int value) {
if (root == null) {
return null;
} else {
return root.searchParent(value);
}
}

public int delRightTreeMin(Node node) {
Node target = node;
while (target.left != null) {
target = target.left;
}

delNode(target.value);
return target.value;
}

public void delNode(int value) {
if (root == null) {
return;
} else {
Node targetNode = search(value);
if (targetNode == null) {
return;
}
if (root.left == null && root.right == null) {
root = null;
return;
}
Node parent = searchParent(value);
if (targetNode.left == null && targetNode.right == null) {
if (parent.left != null && parent.left.value == value) {
parent.left = null;
} else if (parent.right != null && parent.right.value == value) {
parent.right = null;
}
} else if (targetNode.left != null && targetNode.right != null) {
int minVal = delRightTreeMin(targetNode.right);
targetNode.value = minVal;
} else {
if (targetNode.left != null) {
if (parent != null) {
if (parent.left.value == value) {
parent.left = targetNode.left;
} else {
parent.right = targetNode.left;
}
} else {
root = targetNode.left;
}
} else {
if (parent != null) {
if (parent.left.value == value) {
parent.left = targetNode.right;
} else {
parent.right = targetNode.right;
}
} else {
root = targetNode.right;
}
}
}
}
}

public void add(Node node) {
if (root == null) {// 如果是空树,直接让root指向node
root = node;
} else {
root.add(node);
}
}

// 中序遍历
public void infixOrder() {
if (root != null) {
root.infixOrder();
} else {
System.out.println("Tree is Empty.");
}
}
}

//创建Node节点
class Node {
int value;
Node left;
Node right;

public Node(int value) {
this.value = value;
}

public int leftHeight() {
if (left == null) {
return 0;
}
return left.height();
}

public int rightHeight() {
if (right == null) {
return 0;
}
return right.height();
}

// return Height of this node
public int height() {
return Math.max(left == null ? 0 : left.height(), right == null ? 0 : right.height()) + 1;
// A ? B:C ,意思就是如果A为真执行B,否则执行C
}

// 左旋转
private void leftRotate() {
Node newNode = new Node(value);
newNode.left = left;
newNode.right = right.left;
value = right.value;
right = right.right;
left = newNode;
}

// 右旋转
private void rightRotate() {
Node newNode = new Node(value);
newNode.right = right;
newNode.left = left.right;
value = left.value;
left = left.left;
right = newNode;
}

/**
*
* @param value 希望删除的值
* @return 如果找到返回该结点,否则返回null
*/
public Node search(int value) {
if (value == this.value) {
return this;
} else if (value < this.value) {
if (this.left == null) {
return null;
}
return this.left.search(value);
} else {
if (this.right == null) {
return null;
}
return this.right.search(value);
}
}

public Node searchParent(int value) {
if ((this.left != null && this.left.value == value) || (this.right != null && this.right.value == value)) {
return this;
} else {
if (value < this.value && this.left != null) {
return this.left.searchParent(value);
} else if (value >= this.value && this.right != null) {
return this.right.searchParent(value);
} else {
return null;
}
}

}

@Override
public String toString() {
return "Node [value=" + value + "]";
}

// 添加节点
public void add(Node node) {
if (node == null) {
return;
}
if (node.value < this.value) {
if (this.left == null) {
this.left = node;
} else {
this.left.add(node);// 递归
}
} else {
if (this.right == null) {
this.right = node;
} else {
this.right.add(node);// 递归
}
}
if (rightHeight() - leftHeight() > 1) {
if (right != null && right.leftHeight() > right.rightHeight()) {
right.rightRotate();
}
leftRotate();
return;
}
if (leftHeight() - rightHeight() > 1) {
if (left != null && left.rightHeight() > left.leftHeight()) {
left.leftRotate();
}
rightRotate();
}
}

// 中序遍历
public void infixOrder() {
if (this.left != null) {
this.left.infixOrder();
}
System.out.println(this);
if (this.right != null) {
this.right.infixOrder();
}
}
}

运行结果

1
2
3
4
5
树的高度=3
左子树的高度=2
右子树的高度=2
根结点=Node [value=8]
根结点的左子结点=Node [value=7]

参考