这是在看b站上的韩顺平老师的数据结构与算法^[1]时做的笔记。等我把后面的都更新完了以后会陆续把前面的补上。

一、二叉树的问题分析

二叉树的操作效率较高，但是也存在在一些问题，请看下面的二叉树

• 这是一颗 满二叉树，即它的高度有: $2^n-1 → 2^{5}-1→31$
• 二叉树需要加载到内存，如果二叉树的结点少，没有问题，但是如果二叉树的结点很多（比如1亿），就存在如下问题：

1. 在构建二叉树时，需要多次进行i/o操作（海量数据存在数据库或文件中），结点海量，构建二叉树时，速度有影响
2. 结点海量，也会造成二叉树的高度很大，会降低操作速度

二、基本介绍

1. 多叉树

1. 在二叉树中，每个结点有数据项，最多两个子结点。如果允许每个结点可以有更多的数据项和更多的子结点，就是多叉树（multiway tree)
2. 后面的2-3树，2-3-4树就是多叉树，多叉树通过重新组织结点，减少书的高度，能对二叉树进行优化
3. 举例说明（下面2-3树就是一颗多叉树）：
   

2. B树

B树通过重新组织结点，降低树的高度，并且减少i/o读写次数来提升效率

1. 如图B树通过重新组织结点，降低了树的高度
2. 文件系统及数据库系统的设计者利用了磁盘预读原理，将一个结点的大小设为等于一个页（页的大小通常为4k），这样每个结点只需要一次i/o就可以完全载入
3. 将树的度M设置为1024，在600亿个元素中最多只需要4次i/o操作就可以读取到想要的元素。B树(B+)利用这个特性，广泛地应用于文件存储系统以及数据库系统中

• 结点的度 指的是一个结点下面子结点的个数
• 树的度 指的是一个树里最大的结点的度的值

3. 2-3树

2-3树是最简单的B树结构，具有如下特点：

1. 2-3树的所以叶子结点都在同一层。（只要是B树都满足这个条件）
2. 有两个子结点的结点叫二结点，二结点要么没有子结点，要么有两个子结点，不能只有一个子结点。
3. 有三个子结点的结点叫三结点，三结点要么没有子结点，要么有三个子结点，不能只有有一个或两个子结点。
4. 2-3树是由二结点和三结点构成的树。

三、应用案例

将数列 {16, 24, 12, 32, 14, 26, 34, 10, 8, 28, 38, 20} 构建成 2-3 树，并保证数据插入的大小顺序。(演示一下构建 2-3
树的过程.)

插入规则:

1. 2-3 树的所有叶子节点都在同一层.(只要是 B 树都满足这个条件)
2. 有两个子节点的节点叫二节点，二节点要么没有子节点，要么有两个子节点.
3. 有三个子节点的节点叫三节点，三节点要么没有子节点，要么有三个子节点
4. 当按照规则插入一个数到某个节点时，不能满足上面三个要求，就需要拆，先向上拆，如果上层满，则拆本层，拆后仍然需要满足上面 3 个条件。
5. 对于三节点的子树的值大小仍然遵守(BST 二叉排序树)的规则
   

用这个网站画的，但是感觉这网站画出来的有亿丝丑。。。泪目

四、其他说明

除了2-3树，还有2-3-4树等，概念和2-3树类似，也是一种B树。如图：

五、B树、B+树 和 B*树

1. B树的介绍

B-树即B树，B即Balanced，平衡的意思。有人把B-tree翻译成B-树，容易让人产生误解。会以为B-树是一种树，而B树又是另一种树。实际上，B-tree就是指的B树。

前面已经介绍了2-3树和2-3-4树，他们就是B树｜B-tree，这里我们再做一个说明，我们在学习Mysql时，经常听到说某种类似的索引时基于B树或者B+树的，如图：

B树的说明:

1. B树的阶：节点的最多子节点个数。比如2-3树的阶是3，2-3-4树的阶是4
2. B-树的搜索，从根结点开始，对结点内的关键字（有序）序列进行二分查找，如果命中则结束，否则进入查询关键字所属范围的子结点；重复，直到所对应的子指针为空，或已经是叶子结点
3. 关键字集合分布在整颗树中, 即叶子节点和非叶子节点都存放数据.
4. 搜索有可能在非叶子结点结束
5. 其搜索性能等价于在关键字全集内做一次二分查找

2. B+树的介绍

B+树时B树的变体，也是一种多路搜索树。

B+树的说明:

1. B+树的搜索与B树也基本相同，区别是B+树只有达到叶子结点才命中（B树可以在非叶子结点命中），其性能也等价于在关键字全集做一次二分查找
2. 所有关键字都出现在叶子结点的链表中（即数据只能在叶子节点【也叫稠密索引】），且链表中的关键字(数据)恰好是有序的。
3. 不可能在非叶子结点命中
4. 非叶子结点相当于是叶子结点的索引（稀疏索引），叶子结点相当于是存储（关键字）数据的数据层
5. 更适合文件索引系统
6. B树和B+树各有自己的应用场景，不能说B+树完全比B树好，反之亦然.

3. B*树的介绍

B*树是B+树的变体，在B+树的非根和非叶子结点再增加指向兄弟的指针。

B*树的说明:

1. B*树定义了非叶子结点关键字个数至少为(2/3)×M，即块的最低使用率为2/3，而B+树的块的最低使用率为B+树的1/2。
2. 从第1个特点我们可以看出，B*树分配新结点的概率比B+树要低，空间使用率更高.

参考